Квантование спина на направление магнитного поля

Наличие углового момента частиц совместно с их магнитным моментом приводит к прецессии их спина в постоянном магнитном поле. Это явление хорошо известно в физике благодаря исследованиям по электронному и ядерному магнитному резонансу. Прецессия спина частиц отсутствует только в тех случаях, когда спин направлен по полю или точно против него. В этих случаях имеют место локальные минимумы для суммарной энергии электромагнитного поля, состоящего из внешнего поля и поля частицы.

Вначале вычислим изменение энергии магнитного поля при помещении магнитного диполя под углом Θ к внешнему магнитному полю без учета прецессии спина частицы.

Вычисление энергии магнитного диполя в магнитном поле

Магнитное поле, создаваемое спином частицы, описывается выражением ([28], с. 161):

                       (4.1)

При помещении магнитного диполя во внешнее магнитное поле энергия суммарного магнитного поля отличается от энергии этих полей, вычисленных по отдельности. Изменение энергии магнитного поля из-за того, что магнитный диполь помещен в однородное поле, равно

       .        (4.2)

Здесь интегрирование ведется по всему пространству, окружающему частицу. Наибольший вклад в изменение общей энергии полей дает область в непосредственной близости от частицы. Вычисление (4.2) учете (4.1) дает

       ,                        (4.3)

где Θ- угол между направлением магнитного момента частицы и направлением внешнего магнитного поля.

    Таким образом, получается известное выражение для изменения энергии магнитного поля при помещении магнитного диполя в однородное магнитном поле. Эта зависимость от угла Θ показано на рис. 4.1 синей кривой. однако подобная зависимость имеет место в том случае, когда нет прецессии данного магнитного диполя.

     Из классической физики хорошо известно, что при нахождении вращающающегося тела, обладающего магнитным моментом, во внешнем магнитном поле под некоторым углом к этому полю (отличным от 0 и pi ) имеет место прецессия оси этого тела вокруг направления приложенного внешнего магнитного поля. В результате электромагнитное поле частицы обладает дополнительной энергией, которая вызвана прецессией этой частицы.

    Можно вычислить дополнительную электромагнитную энергию, которая генерируется из-за прецессии спина частицы во внешнем магнитном поле.  Для этого необходимо вычислить полную энергию электромагнитного поля, которая сосредоточена в окружающем объеме пространства с учетом прецессии спина этой частицы. Вычисления проведем подобным же образом.

Дополнительная энергия электромагнитного поля из-за прецессии магнитного момента частицы

Пусть магнитный момент частицы и ее угловой момент (спин частицы) наклонены под углом Θ к внешнему магнитному полю. В этом случае происходит прецессия спина частицы вокруг направления внешнего магнитного поля с угловой скоростью

.

В системе координат, движущейся вместе с частицей, собственное дипольное магнитное поле частицы определяется выражением (4.1). Скорость этой системы координат относительно лабораторной, где – вектор от рассматриваемой области до оси прецессии. Поэтому напряженность электрического поля, генерируемого из-за прецессии магнитного диполя частицы, в лабораторной системе координат составляет.

Приращение энергии электрического поля из-за появления поля определяется выражением:

       , где - кулоновское поле частицы.

В случае нейтральной частицы энергия поля возникающего из-за прецесии равна:

       .

Поле Eω, которое образуется из-за прецессии спина частицы, зависит от угла наклона спина частиц к направлению внешнего магнитного поля Θ. Напряженность его пропорциональна sinΘ. Тогда энергия этого поля пропорциональна sin2Θ. Эта энергия сосредоточена в непосредственной близости от частицы и стремится к бесконечности при радиусе частицы, стремящемся к нулю. Для электрона при классического его радиусе эта дополнительная энергия прецессии сравнима с дополнительной энергией магнитного диполя (4.3). Она показана на рис. 4.1 красной кривой.

На рис. 4.1 также показана сумма энергий ΔWH и ΔWω (зеленая кривая) в зависимости от угла Θ. Зависимость ΔWH + ΔWω имеет два минимума: при углах 00 и 1800. Наличие этих двух минимумов связано с тем, что при других наклонах спина к магнитному полю генерируется слишком много энергии из-за прецессии спина. В результате, если учитывать энергию ΔWω и следовать принципу минимума для потенциальной энергии частицы, то получим, что частица со спином может находиться в промежуточных состояниях только ничтожно малое время. Устойчивыми для нее являются только состояния при углах 00 и 1800 к направлению внешнего магнитного поля (зеленая кривая на рис. 4.1).

Θ

Рис. 4.1 Величины  ΔWH (синяя кривая), ΔWω (красная кривая) и их сумма ΔWH + ΔWω (зеленая кривая) в зависимости от угла между направлением магнитного диполя частицы и внешним магнитным полем. Угол на рисунке дан в градусах.

Квантовый характер направления спина частицы на направление магнитного поля

Генерация дополнительных полей из-за прецессии не дает возможности спину электрона находиться под каким-либо другим углом, кроме как 00 и 1800 по отношению к направлению внешнего магнитного поля, и связано это с наличием только двух устойчивых направлений спина частицы. Это явление известно как квантование направления спина частиц на направление внешнего магнитного поля.

В данном объяснении квантования основным фактором, приводящим к двум квазиустойчивым состояниям направления спина, является взаимодействие магнитного момента электрона с внешними электромагнитными полями. Генерация дополнительного электрического поля происходит в тех случаях, когда направление спина не является параллельным направлению магнитного поля. В этом случае происходит прецессия спина, которая и ответственна за генерацию дополнительных электромагнитных полей.

В результате, при описании поведения электрона во многих случаях можно использовать условие, что спин направлен параллельно магнитному полю, т.е. он находится в одном из этих двух минимумов потенциальной энергии. Иными словами, направление спина во внешнем магнитном поле квантовано. Квантованность состоит в том, что спин в квазистационарных состояниях направлен точно вдоль или против магнитного поля. В промежуточных же направлениях спина имеет место прецессия спина, что вызывает генерацию дополнительных электромагнитных полей и поэтому промежуточные направления спина являются неустойчивыми. В промежуточных состояниях из-за прецессии спина электрона происходит излучение электромагнитной энергии в окружающее пространстово, и частица изменяя направление своего спина переходит в одно из своих квазиустойчивых состояний.

Примечание

В настоящее время еще слабо известна структура самих частиц, в том числе их магнитного и электростатического радиусов. Поэтому приходится с некоторой осторожностью относиться к представленному здесь выводу квантования направления спина на направление магнитного поля. Однако из данного раздела в дальнейшем изложении используется только сам факт квантования, и не используются какие-либо количественные соотношения. В этом случае правило квантования направления спина на направления магнитного поля можно пока, как и в квантовой механике, просто постулировать. Это допустимо. В этом случае содержание данного раздела можно рассматривать как пояснение данного постулата на основе законов классической физики.